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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

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3.8. Estudiar continuidad y derivabilidad en x0x_{0} de las siguientes funciones. Hacer un gráfico aproximado y verificar los resultados obtenidos.
c) f(x)={x−2 si x<2x3−6 si x≥2;x0=2f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x-2 & \text { si } & x<2 \\ x^{3}-6 & \text { si } & x \geq 2\end{array} ; x_{0}=2\right.

Respuesta

Arrancamos estudiando continuidad\textbf{continuidad} en x0=2 x_0 = 2 :
Verificamos las tres condiciones necesarias para que f(x) f(x) sea continua en x=2 x = 2 : a) f(2)=2 f(2) = 2 b) Calculamos el límite de f(x) f(x) cuando x x tiende a 22. Por como está definida la función, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:

lim⁡x→2−(x−2)=2−2=0 \lim_{{x \to 2^-}} (x - 2) = 2 - 2 = 0 lim⁡x→2+(x3−6)=23−6=2 \lim_{{x \to 2^+}} (x^3 - 6) = 2^3 - 6 = 2

Como los límites laterales no coinciden, entonces el límite no existe y, por lo tanto, ff no es continua en x=2x=2. 

Y por suerte, como vimos en clase, si una función no es continua en un punto, entonces ya seguro podemos afirmar que tampoco va a ser derivable ahí.

Por lo tanto, concluimos que f(x) f(x) no es continua y tampoco es derivable en x=2 x = 2 .

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