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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
3.8.
Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones. Hacer un gráfico aproximado y verificar los resultados obtenidos.
c) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x-2 & \text { si } & x<2 \\ x^{3}-6 & \text { si } & x \geq 2\end{array} ; x_{0}=2\right.$
c) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x-2 & \text { si } & x<2 \\ x^{3}-6 & \text { si } & x \geq 2\end{array} ; x_{0}=2\right.$
Respuesta
Arrancamos estudiando $\textbf{continuidad}$ en \( x_0 = 2 \):
Reportar problema
Verificamos las tres condiciones necesarias para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 2 \):
a) \( f(2) = 2 \)
b) Calculamos el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a $2$. Por como está definida la función, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
\( \lim_{{x \to 2^-}} (x - 2) = 2 - 2 = 0 \)
\( \lim_{{x \to 2^+}} (x^3 - 6) = 2^3 - 6 = 2 \)
Como los límites laterales no coinciden, entonces el límite no existe y, por lo tanto, $f$ no es continua en $x=2$.
Y por suerte, como vimos en clase, si una función no es continua en un punto, entonces ya seguro podemos afirmar que tampoco va a ser derivable ahí.
Por lo tanto, concluimos que \( f(x) \) no es continua y tampoco es derivable en \( x = 2 \).